Persamaan Garis Singgung Kurva

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

• gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m
• gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b
• gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari gradien garisnya                            m=(y2-y1)/(x2-x1)

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

• jika saling sejajar maka m1=m2
• jika saling tegak lurus maka m1.m2=-1 atau m1=-1/(m2)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan

y-y1=m(x-x1)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Contoh soal :

1. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm2. Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah … cm.
   A. 6
   B. 8
   C. 10
   D. 12
   E. 16
   PEMBAHASAN :
   misal kita anggap tinggi kotak adalah t dan panjang sisi alas adalah s.
   Luas kotak tanpa tutup = Luas alas (persegi) + (4 x luas sisi)
   432 = s2 + (4.s.t)
   432 = s2 + 4ts
   Karena yang diminta dalam soal adalah panjang sisi persegi, maka kita buat persamaan dalam variable s.
   432 – s2 = 4ts
   108/s – s/4 = t
   Volume = v(x) = s2t
   = s2(108/s – s/4)
   = 108s – s3/4
   Agar volume kotak maksimum maka :
   v'(x) = 0
   108 – 3s2/4 = 0
   108 = 3s2/4
   144 = s2
   12 = s
   JAWABAN : D

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?

Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 7x² + 20  di titik yang berabsis 2 ?

Jawab :
x = 2
y = x⁴ – 7x² + 20 = y = 2⁴ – 7.2² + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x³ – 14 x = 4.2³ – 14.2 = 32 – 28 = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x

4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x³ + 10 = 18
x³ = 8
x = 2

m = y’ = 3x² = 3.2² = 12

Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 5x² + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :
ordinat = 6
x⁴ – 5x² + 10 = 6
x⁴ – 5x² + 4 = 0
(x² – 1)(x² – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

untuk x = -1
m = 4x³ – 10x = -4 + 10 = 6
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12

Untuk x = 1
m = 4x³ – 10x = 4 – 10 = -6
y – y₁ = m(x – x₁)
y –  6 = -6(x – 1)
y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12

Untuk x = -2
m = 4x³ – 10x = 4(-2)³ – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18

Untuk x = 2
m = 4x³ – 10x = 4.2³ – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18

Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan y = 12x – 18

6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x⁴ – 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab :
y = 3x⁴ – 20
y’ = 12x³
Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradien garis ini adalah m₁ = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m₂) adalah
m₂ = m₁ = 12
gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y’ = 12
12x³ = 12
x³ = 1
x = 1
maka y = 3x⁴ – 20 = 3 – 20 = – 17
Persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 17 = 12(x – 1)
y + 17 = 12x – 12
y = 12x – 29

7. Garis yang menyinggung kurva y = 12  – x⁴  dan tegak lurus dengan x – 32y = 48 mempunyai persamaan ….

Jawab :
y = 12  – x⁴
y’ = – 4x³

Sedangkan
x – 32y = 48
32y = x – 48

Garis ini memiliki gradien m1=1/32
Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka

m₁.m₂ = -1
(1/32)m2=-1
m₂= -32
m₂ ini adalah gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y’ = -32
– 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
y = 12  – x⁴ = 12-2⁴ = -4
maka persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 4 = -32(x – 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60