Menemukan Teoram Pythagoras

 Untuk menemukan dalil atau teorema phytagoras Anda harus paham dengan konsep-konsep dasar yang sangat mendukung dalam pembuktian teorema tersebut. Adapun materi atau konsep dasar tersebut adalah materi kuadrat bilangan, perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar, akar kuadrat bilangan, luasdaerah persegi, dan luas daerah segitiga (khususnya segitiga siku-siku).

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan empat buah bangun datar segitiga siku-siku dan memiliki sisi a, b, dan c. Jika ke empat segitiga siku-siku tersebut dijadikan bentuk persegi maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Masih ingatkah Anda mencari daerah yang tidak di arsir seperti gambar di atas? Daerah yang tidak diarsir di atas dapat dicari dengan cara:

L.UVWX = L.ABCD – 4L.∆

Nah di sinilah penggunaan konsep luas persegi dan luas segitiga, maka:

Untuk luas persegi UVWX dapat dicari:
L.UVWX = c x c = c2

Sedangkan untuk luas persegi ABCD dapat dicari:
L.ABCD = (a+b)(a+b) 
Di mana (a+b)(a+b) merupakan perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar, maka:

L.ABCD = a2 +2ab + b2

Luas segitiga siku-siku tersebut dapat dicari yakni:
L.∆ = ½ab

Maka rumus untuk daerah yang tidak diarsir di atas menjadi:

L.UVWX = L.ABCD – 4L.∆

c2 = (a2 +2ab + b2) – 4.½ab

c2 = (a2 +2ab + b2) – 2ab

c2 = a2 + b2

Berdasarkan hasil penjabaran di atas dapat disimpulkan bahwa pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Nah sifat yang dimiliki oleh segitiga siku-siku inilah yang kemudian dikenal dengan teorema Pythagoras. Jadi, jika ABC adalah sembarang segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku a dan b serta panjang sisi miring c maka berlaku hubungan sebagai berikut:

c2 = a2 + b2

Hubungan di atas dapat dibuat dalam bentuk pengurangan yakni:

a2 = c2 – b2

b2 = c2 – a2

Nah untuk memantapkan pemahaman Anda tentang teorema phytagoras simak beberapa contoh soal dan pembahasannya di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Nyatakan hubungan yang berlaku mengenai sisi-sisi segitiga pada gambar di atas.

Penyelesaian:

Segitiga di atas merupakan adalah segitiga siku-siku, maka berlaku teorema Pythagoras, yaitu kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya, sehingga berlaku:

z2 = x2 + y2

x2 = z2 – y2

y2 = z2 – x2

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar ∆PRS di bawah ini.

Segitiga PRS di atas merupakakan gabungan dari dua segitiga siku-siku PQS dan QRS. Tentukan rumus Pythagoras untuk menghitung:

a. panjang sisi a,

b. panjang sisi b,

c. panjang sisi c,

d. panjang sisi d,

e. panjang sisi t.

Penyelesaian:

a. Perhatikan segitiga PQS. Dari segitiga tersebut diperoleh:

a2 = d2 – t2

a = √(d2 – t2)

b. Perhatikan segitiga QRS. Dari segitiga tersebut diperoleh:

b2 = c2 – t2

b = √(c2 – t2)

c. Perhatikan segitiga QRS. Dari segitiga tersebut diperoleh:

c2 = b2 + t2

c = √(b2 + t2)

d. Perhatikan segitiga PQS. Dari segitiga tersebut diperoleh:

d2 = a2 + t2

d = √(a2 + t2)

e. Khusus untuk nilai t, dapat diperoleh dari dua segitiga dua segitiga siku-siku PQS dan QRS. Sekarang perhatikan segitiga PQR, dari segitiga tersebut diperoleh:

t2 = d2 – a2

t = √(d2 – a2)

Sekarang perhatikan segitiga QRS, dari segitiga tersebut diperoleh:

t2 = c2 – b2

t = √(c2 – b2)