Bentuk Akar

 

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bentuk akar merupakan bingagn berpangkat juga yakni berpangkat pecahan :

jadi misalnya : 

contoh lagi : 

                                            jadi akar dua puluh lima sama dengan lima

contoh lagi : 

Pada dasarnya sifat-sifat yang telah dimiliki oleh bilangan berpangkat juga dimiliki oleh bilangan bentuk akar, yakni:

Untuk bilangan real a, b dan n, m bilangan rasional berbentuk n=p/q dan m=s/t dengan p, q, s, t bilangan asli berlaku:

dengan a dan b tidak negatif saat p atau s genap.

Sifat-Sifat Bentuk Akar

Untuk a, b, c, dan d bilangan real, berlaku:
1. Penjumlahan dan Pengurangan bentuk akar

2. Perkalian dan pembagian bentuk akar

Operasi Aljabar Bentuk Akar

Operasi aljabar yang sangat umum adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pembahasannya adalah sebagai berikut:

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Rumus operasi penjumlahan bentuk akar:

a√c + b√c = (a + b) √c

Rumus operasi pengurangan bentuk akar:

a√c – b√c = (a – b) √c

b. Operasi Perkalian

Untuk masing-masing a dan b adalah bilangan rasional positif, maka rumus yang berlaku adalah:

√a x √b = √a x b

c. Operasi Pembagian

Untuk masing-masing a, b, p, dan q adalah bilangan rasional positif, maka rumus yang berlaku adalah:

(p√a)/(q√b)= p/q √(a/b)

Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar

Cara merasionalkan penyebut pecahan dengan bentuk akar dapat dikategorikan menjadi beberapa kategori. Di antaranya adalah:

a. Bentuk pecahan a/√b

Pada pecahan a/√b ada bilangan rasional a dan bentuk akar √b cara merasionalkannya adalah dengan membuat perkalian antara √b/√b dengan pecahannya. Nantinya bentuk operasi perkalian bentuk akarnya menjadi seperti ini:

b. Bentuk pecahan atau c/a-√b atau c/a+√b

Cara merasionalkan bentuk akar selanjutnya berhubungan dengan pasangan hasil kali (a – √b) dan (a + √b), dimana bilangan rasional berupa a dan b serta bentuk akarnya berupa √b. Kedua pasangan hasil kali ini dapat diselesaikan dengan sifat distributif seperti (a + √b)( a – √b) = a² – a√b + a√b – b = a² – b.

Bilangan (a + √b) yang dikalikan dengan (a – √b) menghasilkan bilangan rasional. Dalam hal ini (a – √b) merupakan sekawan dari (a + √b) dan sebaliknya atau (a – √b) dan (a + √b) merupakan contoh sekawan bentuk akar.  Contohnya 3 – √2 sekawan dengan 3 + √2 dan 5 + √3 sekawan dengan 5 – √3.

Untuk cara merasionalkan pecahan dengan bentuk tersebut akarnya bisa menjadi seperti ini:

Itulah tadi pembahasan untuk matematika SMP tentang bilangan berpangkat dan bentuk akar untuk kelas 9. Semoga bermanfaat! 

Bilangan Berpangkat

Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

Materi untuk bilangan berpangkat dan bentuk akar yang pertama adalah mengenai bilangan berpangkat untuk bilangan bulat. Apakah maksudnya? Dan bagaimana cara menyelesaikan soalnya?

Pengertian Perpangkatan Bilangan

Perpangkatan adalah operasi matematika untuk perkalian berulang suatu bilangan sebanyak pangkatnya. Pangkat suatu bilangan adalah angka yang ditulis lebih kecil dan terdapat agak ke atas. Berdasarkan semantik penulisan huruf disebut dengan superscript, contoh: 2², 3², 4³, dan lainnya.

Bilangan berpangkat dapat diperoleh dari perkalian berulang dengan faktor-faktor yang sama.

Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat yang memiliki nilai positif, bilangan bulat dengan nilai negating, dan nol. Maka dapat disumpulkan bahwa bilangan berpangkat bilangan bulat adalah bilangan-bilangan yang berpangkat positif, negatif, dan nol.

1. Bilangan Berpangkat 0

Untuk bilangan bulat dengan pangkat 0, hasilnya adalah 1. Jadi, bilangan bulat apapun itu baik itu nilainya negatif atau positif, jika dipangkatkan dengan 0 maka hasilnya adalah 1, tapi ini tidak berlaku untuk bilangan bulat 0.

Untuk membuktikan n0 = 1, kita dapat menggunakan sifat operasi perpangkatan yang nomor (2), yakni pembagian bilangan berpangkat:
na : nb = na-b atau jika dibalik
na-b = na : nb.
Jika n ≠ 0 dan a=b, maka:
na-b = na : nb
na-a = na : na ; karena a-a = 0 dan na : na = 1, maka
n0 = 1 (terbukti)

2. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif, diantaranya adalah sebagai berikut ini:

• amx an = am+n
• am : an = am-n , untuk m>n dan b ≠ 0
• (am)n = amn
• (ab)m = am bm
• (a/b)m = am/bm , untuk b ≠ 0

3. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

Untuk sifat bilangan berpangkat bulat negatif adalah:

Jika a∈R, a ≠ 0, dan n merupakan bilangan bulat negatif, maka:

a-n = 1/an atau an = 1/ a-n

Operasi Hitung yang Melibatkan Bilangan Berpangkat

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan sebelum kamu mengerjakan soal operasi hitung yang melibatkan bilangan berpangkat, antara lain:

1. Kerjakan operasi dalam kurung terlebih dahulu
2. Lanjutkan dengan operasi perpangkatan
3. Kerjakan operasi perkalian dan pembagian
4. Kerjakan operasi penjumlahan atau pengurangan.

Oke, sekarang kita akan masuk ke dalam pembahasan operasi hitung yang ada pada bilangan berpangkat. Ada 2 hal yang akan dibahas, yaitu perkalian dan pembagian.

Perkalian Pada Perpangkatan

Pada operasi hitung perkalian dalam bilangan berpangkat, berlaku sifat seperti di bawah ini:

am x an = am+n

Untuk lebih memahami tentang perkalian pada perpangkatan, perhatikan contoh berikut:

63 x 62 = (6 x 6 x 6) x (6 x 6)

63 x 62 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6

63 x 62 = 65

Sehingga dapat kita simpulkan menjadi 63 x 62 = 62+3 = 65

Namun, ada sebuah pengecualian untuk kasus bilangan pokok yang berpangkat negatif. Ada beberapa poin yang harus kamu ketahui:

Bilangan negatif pangkat genap	= Hasilnya positif
Bilangan negatif pangkat ganjil	= Hasilnya negatif

Pembagian pada Perpangkatan

Untuk operasi hitung pembagian pada perpangkatan, maka akan berlaku sifat seperti di bawah ini:

am : an = am-n

Agar dapat memahami pemahaman diatas, berikut ini adalah contoh soalnya:

66 x 63 = (6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6) x (6 x 6 x 6)

66 x 63 = 6 x 6 x 6 ((6 x 6 x 6) x (6 x 6 x 6))

66 x 63 = 63

Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi 66 x 63 = 66-3 = 63

Bentuk Pangkat Sederhana

Jika terdapat suatu persamaan pangkat sederhana af(x) = an di mana a ∊ R yang tidak sama dengan 0, maka untuk menyelesaikan permasalahan terebut harus disamakan ruas kiri dengan ruas kanan. Jika kurang paham, perhatikan contoh berikut:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di bawah ini !

31 + x = 81

Jawab:

31 + x       = 81

31 + x       = 34

1 + x      = 4

x            = 4 – 1 = 3

Jadi, HP = {3}.

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Sekarang akan dibahas untuk bentuk akar dan bagaimana jika bilangan bulat namun memiliki pangkat yang berbentuk pecahan? Apakah soal tersebut bisa diselesaikan? Apakah sama caranya dengan perpangkatan bilangan bulat dan pangkat bilangan bulat biasa?

Penarikan Akar Pangkat

Akar pangkat dua merupakan kebalikan dari pangkat dua. Akar pangkat dua (akar kuadrat) dilambangkan dengan tanda √ .

92 = 81 berarti √81 = 9

Akar kuadrat suatu bilangan dapat dicari dengan cara seperti berikut.

√625 = …

• • Pisahkan dua angka di sebelah kanan dengan tanda titik menjadi 6. 25.

• Carilah akar terbesar dari bilangan disebelah kiri titik (6) yaitu 2.
• 22= 4, angka 4 ditulis dibawah angka 6 kemudian dikurangkan, yaitu 6 – 4 = 2.
• Turunkan angka 25 melengkapi sisa 2 menjadi 2. 25.
• Hasil penarikan akar tadi (2) kalikan 2 menjadi 4.
• Carilah bilangan n yang memenuhi 4n × n sehingga hasil kalinya 225 atau bilangan terbesar di bawah 225. Pada contoh nilai n yang sesuai yaitu 5, sehingga 45 × 5 = 225
• Angka 5 ini diletakkan melengkapi 2 hasil penarikan akar tadi menjadi 25.
• Oleh karena 225 – 225 = 0 maka 25 merupakan hasil akhir penarikan akar kuadrat. Bila hasil pengurangannya belum nol maka lakukan penurunan angka berikutnya seperti langkah 4 dan 5. Jadi, √625 = 25.

Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional

Pangkat rasional adalah bentuk pangkat pecahan. Rasio adalah perbandingan. Jadi, pangkatnya itu berupa pecahan.

Pangkat rasional mempunyai nilai sama dengan bentuk akar.

Berikut ini adalah aturan perpangkatan:

Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional

Untuk a dan b bilangan real, b≠0 dan m,n adalah bilangan rasional berlaku:

Persamaan Barisan Bilangan

Menentukan Persamaan dari Suatu Barisan Bilangan

Bilangan-bilangan yang membentuk barisan adalah barisan bilangan. Suatu barisan bilangan akan membentuk pola bilangan tertentu seperti pola bilangan ganjil, pola bilangan genap, pola bilangan fibonacci, dan pola lainnya yang dapat diketahui dengan melihat beberapa bilangan yang berurutan.

Beberapa bilangan pada barisan bilangan akan membentuk pola yang menunjukkan persamaan dari suatu barisan bilangan. Berikut adalah beberapa contoh barisan bilangan dan persamaannya.

Barisan Bilangan Ganjil

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33

Barisan bilangan ganjil dibentuk oleh bilangan ganjil, sehingga persamaan dari barisan bilangan ganjil untuk suku ke-n adalah U_n = 2n – 1.

Baca juga: Koordinat Kartesius: Contoh Soal Serta Pembahasan

Barisan Bilangan Genap

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34

Barisan bilangan genap dibentuk oleh bilangan genap, sehingga persamaan dari barisan bilangan genap untuk suku ke-n adalah U_n = 2n.

Barisan Bilangan Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987

Barisan bilangan fibonacci dibentuk oleh penjumlahan kedua suku sebelum bilangan tersebut, sehingga persamaan dari barisan bilangan fibnacci untuk suku ke-n adalah U_n = U_n-2 + U_n-1.

Barisan Bilangan Lainnya

3, 6. 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51

Barisan bilangan tersebut dibentuk oleh pola penjumlahan +3 atau kelipatan 3, sehingga persamaan dari barisan bilangan tersebut untuk suku ke-n adalah U_n = 3n.

Pengertian suku :

untuk lebih jelas nya silakan simak videonya ;

 

Menentukan Persamaan dari Suatu Konfigurasi Obyek

Menentukan Persamaan dari Suatu Konfigurasi Objek

Suatu konfigurasi objek yang berurutan membentuk barisa yang memiliki pola bilangan. Cara untuk menentukan pola bilangan tersebut adalah dengan memperhatikan baris konfigurasi objek tersebut, temukan perubahannya dan buatlah persamaan. Beberapa contoh dari pola bilangan tersebut adalah pola bilangan segitiga dan pola bilangan persegi.

Pola Bilangan Segitiga

Sumber: buku matematika kelas Viii

Persamaan pada pola bilangan segitiga untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

U_n = ½ × n × (n + 1)

Pola seperti di atas dinamakan pola bilangan segitiga karena konfigurasi objek membentuk segitiga.

Persamaan untuk pola bilangan segitiga dapat berbeda untuk setiap segitiga karena konfigurasi objek yang memiliki perbedaan panjang dan lebar. Misalnya pada pola bilangan segitiga berikut ini:

Sumber: buku matematika kelas viii

Persamaan pada pola bilangan segitiga untuk suku ke-n adalah sebagai berikut ini:

U_n = n  + U_n-1

Pola seperti di atas dinamakan pola bilangan segitiga sama sisi karena konfigurasi objek membentuk segitiga sama sisi.

Pola Bilangan Persegi

Sumber: Buku matematika kelas VIII

Persamaan pada pola bilangan persegi untuk penjumlahan hingga suku ke-n  adalah seperti berikut ini:

S_n = n²

Pola seperti di atas dinamakan pola barisan bilangan persegi karena konfigurasi objek membentuk persegi.

Pola Bilangan Persegi Panjang

Sumber: Buku matematika kelas VIII

Persamaan untuk pola bilangan persegi berbeda dari pola bilangan persegi panjang dengan mengalikan panjang dan lebar dari kedua sisi persegi panjang pada konfigurasi objek, sehingga persamaan pada pola bilangan persegi panjang tersebut untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

U_n = n × (n + 1)

Pola Bilangan Belah Ketupat

Sumber: Buku matematika kelas VIII

Persamaan pada pola bilangan belah ketupat tersebut untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

U_n = n² + (n – 1)²

Pola seperti di atas dinamakan pola barisan bilangan belah ketupat karena konfigurasi objek membentuk belah ketupat.

Pola Bilangan Segienam

Sumber: Buku matematika kelas VIII

Persamaan pada pola bilangan segienam tersebut untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

U_n = 6 (n – 1) + U_n-1

Pola seperti di atas dinamakan pola barisan bilangan segienam karena konfigurasi objek membentuk segienam.

Pola Bilangan Cross

Sumber: Buku matematika kelas VIII

Persamaan pada pola bilangan cross tersebut untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

U_n = 4 + U_n-1

Pola seperti di atas dinamakan pola barisan bilangan cross karena konfigurasi objek membentuk cross.

Contoh Soal Pola Bilangan

Untuk lebih memahami mengenai materi pola bilangan, perhatikanlah contoh soal dan pembahasan pola bilangan berikut ini:

1. Tentukanlah persamaan suke ke-n dari barisan bilangan berikut ini !

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34

Pembahasan:

Diketahui:

a = U₁ = 1

b = U_n – U_n-1 = 4 – 1 = 10 – 7 = 3

Menentukan persamaan suku ke-n

U_n = a + (n – 1) × b

U_n = 1 + (n – 1) × 3

U_n = 1 + 3n – 3

U_n = 3n – 2

Jadi persamaan suke ke-n dari barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34 adalah U_n = 3n – 2.

2. Tentukanlah suku ke-100 dari konfigurasi objek berikut ini!

Pembahasan:

Diketahui:

a = U₁ = 4

U₂ = 8

U₃ = 12

b = U_n – U_n-1 = 8 – 4 = 12 – 8 = 4

Menentukan persamaan suku ke-n

U_n = a + (n – 1) × b

U_n = 4 + (n – 1) × 4

U_n = 4 + 4n – 4

U_n = 4n

U₁₀₀ = 4 × 100 = 400

Jadi suku ke-100 dari konfigurasi objek tersebut adalah 400.

3. Setiap siswa diwajibkan untuk menggambar segitiga sebanyak nomor urut absennya yang digabungkan memanjang seperti berikut ini:

Sumber: Dokumentasi penulis

Jika Budi memiliki nomor absen 25, berapa banyak garis yang harus ditarik untuk membentuk gambar tersebut ?

Pembahasan:

Diketahui:

a = U₁ = 3

U₂ = 5

U₃ = 7

U₄ = 9

b = U_n – U_n-1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2

Menentukan persamaan suku ke-n

U_n = a + (n – 1) × b

U_n = 3 + (n – 1) × 2

U_n = 3 + 2n – 2

U_n = 2n + 1

U_n = 2n + 1

U₂₅ = 2 × 25 + 1 = 51

Jadi banyak garis yang harus ditarik oleh Budi untuk membentuk gambar segitiga sebanyak nomor urut 25 adalah 51 garis.

Untuk lebih jelasnya silakan simak Video berikut ;