Penyajian Data Dalam Bentuk Tabel

 

Untuk penyajian data dalam bentuk tabel silahkan perhatikan ilustrasi di bawah ini. Hasil ulangan blok matematika kelas IX A semester ganjil disajikan ke dalam Tabel 1 di bawah ini.

Dapatkah Anda tentukan berapa nilai yang diperoleh Janu berdasarkan Tabel 1? Untuk mengetahui berapa nilai ulangan yang diperoleh Janu, Anda harus membaca data pada Tabel 1 tersebut satu per satu (karena datanya disusun secara acak). Untuk data pada Tabel 1 di atas yang terdiri dari 30 datum, Anda masih dapat mencarinya dengan mudah walaupun memerlukan waktu yang cukup lama. Akan tetapi, bagaimana jika data yang ada terdiri atas 1.000 datum? Puyeng ya?

Nah untuk memudahkan mencari datum dari suatu data yang memiliki lebih dari 1.000 datum, data tersebut harus disusun sesuai alfabet. Jika data pada di atas disajikan sesuai nama siswa yang disusun secara alfabet maka akan tampak seperti Tabel 2 di bawah ini. 

Dengan melihat Tabel 2 di atas, Anda dengan mudah dapat menentukan nilai ulangan Matematika yang diperoleh Janu, yaitu 5. Bagaimana caranya mengetahui berapa orang yang mendapatkan nilai 5?

Untuk mengetahui berapa orang yang memperoleh nilai 5, Anda harus menyajikan data tersebut dengan mencatat banyak nilai tertentu (frekuensi) yang muncul, seperti diperlihatkan pada Tabel 3 di bawah ini. 

Dengan melihat Tabel 3 di atas maka Anda dapat menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 5 dengan sekali pandang, yaitu 6 orang. Ketiga cara penyajian data pada Tabel 1, Tabel 2, dan Tabel 3 di atas dinamakan penyajian data sederhana.

Jika data hasil ulangan Matematika itu disajikan dengan cara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh tabel frekuensi data berkelompok seperti tabel di bawah ini.

Tabel seperti di atas ini dinamakan tabel distribusi frekuensi. Bagaimana cara membuat tabel distribusi frekuensi yang baik dari suatu data statistik? Silahkan baca "cara membuat tabel distribusi frekuensi". Tabel distribusi frekunesi sering digunakan untuk mengitung hasil pemilihan ketua kelas, ketua osis, pemilihan umum anggota legislatif dan pemilihan umum presiden dan wakil presiden.

Untuk Lebih Memahami silakan Simak Video Berikut :

Populasi, Sampel dan Jenis Pengumpulan Data

Untuk memudahkan Anda memahami apa pengertian populasi dan sampel, silahkan simak ilustrasi berikut. “Pada saat jalan-jalan ke pemandian air panas Banjar, kabupaten Buleleng. Di sepanjang pinggir jalan Singaraja-Seririt, Vivien melihat penjual anggur berjejer menjajakan dagangannya. Kemudian ia berniat membeli buah anggur untuk dibawa pulang sebagai oleh-oleh untuk keluarganya. Sebelum membeli buah anggur tersebut, Vivien ingin mencicipi terlebih dahulu buah anggur tersebut. Setelah mendapat ijin dari pemilik anggur, maka Vivien mengambil beberapa buah anggur dari beberapa tempat berbeda di dalam keranjang buah, yaitu beberapa anggur yang terletak di bagian dasar keranjang, beberapa anggur yang terletak di bagian tengah keranjang dan beberapa anggur yang terletak di bagian atas keranjang. Setelah mencicipi ternyata semua anggur tersebut manis rasanya. Oleh karena itu, Vivien memutuskan untuk membeli 4 kg anggur tersebut”.


Buah anggur
Sumber Gambar: www.asiancacner.com



Nah dari ilustrasi di atas, beberapa buah anggur yang diambil Vivien untuk dicicipi disebut sampel, sedangkan seluruh anggur dalam keranjang disebut populasi. Jadi, apa pengertian populasi dan sampel?


Populasi dapat didefiniskan sebagai sekelompok objek yang bisa berupa bilangan, benda, orang, binatang dan lain sebagainya yang dibicarakan atau yang menjadi objek pengamatan. Sedangkan definisi dari sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil untuk dijadikan objek pengamatan langsung dan dijadikan dasar dalam penarikan kesimpulan mengenai populasi.


Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai populasi dan sampel, silahkan simak beberapa contoh soal di bawah ini.



Contoh Soal 1
Sebuah pabrik roti membuat beberapa jenis roti yaitu roti kacang hijau, roti cokelat, roti susu dan roti nenas. Salah seorang pegawai pabrik roti tersebut mengambil masing-masing tiga buah roti kacang hijau, tiga buah roti cokelat, tiga buah roti susu dan tiga buah roti nenas. Roti yang telah diambil diperlihatkan kepada para pembeli roti di ruang bagian pemasaran dari pabrik tersebut. Tentukan populasi dan sampelnya! (Sumber BSE)


Penyelesaian:
Populasinya adalah seluruh jenis roti yang dibuat oleh pabrik tersebut, sedangkan sampelnya adalah roti yang diambil oleh pegawai yang diperlihatkan kepada pembeli roti.


Contoh Soal 2
Pak Nana mempunyai kolam ikan yang di dalamnya terdapat 50 ekor ikan Mas dan 100 ekor ikan Mujair. Amir putra pak Nana mengambil 1 ekor ikan Mas dan 1 ekor ikan Mujair kemudian ditunjukkan pada temannya. Tentukan populasi dan sampelnya. (Sumber BSE)


Penyelesaian:
Populasinya adalah seluruh ikan yang dimiliki oleh Pak Nana, yaitu 50 ekor ikan mas dan 100 ekor ikan mujair. Sedangkan sampelnya adalah ikan yang diambil oleh pak Nana yang kemudian ditunjukan pada temannya, yaitu satu ekor ikan mas dan satu ekor ikan mujair.


Contoh Soal 3
Pak Ahmad mempunyai kebun bunga. Di dalam kebun bunga pak Ahmad terdapat bunga mawar, bunga melati, dan bunga matahari. Pak Ahmad memetik dua bunga mawar, dua bunga melati, dan dua bunga matahari. Selanjutnya bunga yang telah dipetik itu ditunjukkan kepada para pembeli bunga. Tentukan populasi dan sampelnya! (Sumber BSE)


Penyelesaian:
Populasinya adalah seluruh bunga yang ada di kebun Pak Ahmad. Sedangkan sampelnya adalah bunga yang dipetik dan ditunjukan kepada pembeli bunga.


Jenis Pengumpulan Data

Jenis-jenis data menurut sifatnya dibagi menjadi dua golongan yakni data kuantitatif dan data kualitatif. 1) Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif juga terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran. Dimana data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung. Misalnya, data jumlah anak dalam keluarga, sedangkan data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya, data tinggi badan siswa. 2) Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka atau bilangan. Misalnya, data warna dan mutu barang.

Dalam sebuah penelitian atau percobaan kita perlu mengumpulkan data. Ada banyak cara yang bisa dilakukan untuk mengumpulkan data, antara lain wawancara, pengisian lembar pertanyaan (questionnaire), pengamatan (observation), dan mengolah atau menggunakan data yang sudah ada.

Dalam proses pengumpulan data seringkali data yang dikumpulkan berupa bilangan desimal. Sesuai ketelitian yang dikehendaki, bilangan tersebut dapat dibulatkan. Aturan pembulatannya adalah sebagai berikut.

“Jika angka yang mengalami pembulatan lebih dari atau sama dengan 5, angka yang di depannya ditambah satu dan jika angka yang mengalami pembulatan kurang dari 5, angka tersebut dihilangkan”

Misalnya, diketahui hasil pengukuran kadar asam cuka pada suatu larutan sebesar 0,36205. Angka tersebut jika dibulatkan sampai dengan empat angka di belakang koma menjadi 0,3621, sedangkan jika dibulatkan sampai dengan dua angka di belakang koma menjadi 0,36.

Setelah data terkumpul maka kita harus memeriksa data itu kembali. Misalkan, seorang guru mencatat hasil ulangan matematika seluruh siswanya. Sebelum mencari nilai rata-ratanya, ia perlu memeriksa untuk memastikan data yang diperolehnya tidak salah catat. Ia juga perlu memeriksa apakah ada nilai-nilai yang harus dibulatkan atau tidak. Kesalahan pencatatan dan pembulatan data ini akan menyebabkan nilai rata-rata ulangan matematika di kelas tersebut tidak sesuai dengan data yang sebenarnya.

Pengertian Datum, Data dan Statistika

Anda harus tahu apa pengertian data. Untuk mengetahui apa pengertian data silahkan simak ilustrasi berikut.


“Seorang guru ingin mengetahui tinggi badan dan tingkat kesehatan lima orang siswanya. Kemudian guru tersebut menyuruh salah satu siswanya yang bernama Anggie untuk mengukur tinggi lima orang termannya tersebut. Berdasarkan hasil pengukuran yang dilakukan oleh Anggie maka diperoleh tinggi badan siswa yakni Iwan dengan tinggi badan 158 cm, Agus dengan tinggi badan 156 cm, Zuki dengan tinggi badan 152 cm, Hendra dengan tinggi badan 160 cm, dan Dewi dengan tinggi badan 153 cm”.


Mengukur tinggi badan siswa.
Sumber gambar: puskesmasmekarmukti.blogspot.com


    Berdasarkan ilustrasi di atas, bilangan 158 cm merupakan tinggi badan seorang siswa. Fakta tunggal ini dinamakan datum. Adapun hasil seluruh pengukuran terhadap lima orang siswa disebut data. Datum dibedakan menjadi dua yaitu datum dalam bentuk angka (misalnya tinggi badan siswa, skor ulangan umum siswa, waktu tempuh seorang pelari, dll) dan datum dalam bentuk kategori (misalnya baik atau buruk, tinggi atau pendek, dll). Data juga dibedakan berdasarkan jenisnya menjadi dua yaitu data kuantitatif dan data kualitatif.



Data kuantitatif merupakan data yang berupa bilangan dan nilainya bisa berubah-ubah. Data kuantitatif biasanya diperoleh dengan menggunakan alat ukur, misalnya tinggi badan siswa kelas IX sebanyak lima orang siswa. Sedangkan data kualitatif merupakan data yang menggambarkan keadaan objek yang dimaksud, misalnya selain ganteng, Arjuna juga pintar memanah. Biasanya data kualitatif diperoleh berdasarkan indra kita.


Sekarang kembali lagi ke ilustrasi di atas. Berdasarkan data yang diperoleh, Anggie menyimpulkan bahwa dari kelima siswa tersebut bahwa siswa yang paling tinggi badannya adalah Hendra dan siswa yang paling pendek badannya adalah Zuki.


Ketika Anggie menarik kesimpulan berdasarkan data di atas, sebenarnya ia telah menggunakan statistika. Jadi, statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan data, perhitungan atau pengolahan data, serta penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh.


Contoh Soal
Hasil pengukuran tinggi badan siswa Kelas IX C yang diambil secara acak adalah sebagai berikut.





Berapa jumlah datum dalam tabel di atas? Berapa nilai datum terbesar? Berapa nilai datum terkecil?


Penyelesaian:
Data tersebut terdiri atas 5 datum. Datum terbesar adalah 165, sedangkan datum terkecil adalah 155.

Determinan Matriks

 

Determinan Matriks

Determinan dalam hal ini dilambangkan dengan det (matriks) atau matriks dengan tanda kurung mutlak.

Misalnya, determinan A = det (A) = [A]

Determinan yang dipelajari dalam tingkat sekolah menengah adalah untuk jenis persegi dengan ordo 2 x 2.

Perhatikan penulis rumusnya di bawah ini.

A = 

Seterminan A = det (A) = [A] =  = ab – cd

Umumnya penggunaan perhitungan determinan berhubungan dengan invers.

Invers Matriks

Matriks invers hanya ada pada jenis persegi. Dalam materi kali ini akan dibahas invers dengan ordo 2 x 2 sesuai dengan perhitungan determinan yang sudah dibahas.

Yang dimaksud invers di sini adalah perkalian sesama matriks yang hasilnya matriks identitas (I).

Jadi berlaku AX = I, di mana X kemudian disebut invers dengan lambag A-1.

Dengan A = 

Invers matriks A = A-1 =1/det⁡(A) , dengan syarat det (A) tidak boleh sama dengan nol.

Contoh dan pembahasan determinan dan invers.

Diketahui B = . Hitunglah invers B!

Jawab.
B = , berarti a = 4, b = 10, c = 4 , d= 8

Determinan B = det (B) = ad – bc =( 4 x 8) – (10 x 4) = 32 – 40 = -8

Invers B = B-1 =1/det⁡ (B) 

Perkalian Matriks

Perkalian

Perkalian pada materi ini dibagi menjadi 2, yaitu dengan konstanta dan sesama matriks. Keduanya akan dibahas satu per satu.

Rumus Perkalian dengan Konstanta

Rumus Perkalian Sesama Matriks

Contoh soal.

1. Diketahui A = 
   Hitunglah nilai 5 A dan ½ A
   
   Jawab.
   
   
2. Diketahui A =  dan B = . Hitunglah AB
   
   Jawab.
    =  = 

 

Penjumlahan dan pengurangan matriks

 E.  Operasi Aljabar pada Matriks

a. Penjumlahan Matriks 
     Jika A dan B dua buah matriks berordo sama maka jumlah matriks A dan B ditulis A+B adalah sebuah matriks baru C yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen B yang seletak.
Contoh 12

Pada penjumlahan belaku sifat- sifat :

1.      Komutatif, A+B = B+A

2.      Asosiatif, ( A+B)+C = A+(B+C)

3.      Sifat lawan, A+(-A) = 0

4.      Identitas penjumlahan, A+0 = A

b. Pengurangan Matriks 
     Pengurangan matriks A dengan matriks B adalah suatu matriks yang elemen-elemenya diperoleh dengan cara mengurangkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang besesuaian (seetak), atau dapat pula diartikan sebagai menjumlahkan matriks A dengan lawan negative dari B, dituliskan: A-B = A+(-B). 
     Seperti halnya pada penjumlahan dua buah matriks, pengurangan dua buah matriks pun terdefinisi apabila ordo kedua matriks tersebut sama.
c. Soal-Soal dan penyelesaian Matriks.


 

 
  

Kesamaan Matriks

 D.  Kesamaan Dua Matriks

      Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A=B), jika dan hanya jika kedua matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletaknya sama. Karena menggunakan “jika dan hanya jika” maka pengertian ini berlaku menurut dua arah, yaitu:
a.  Jika A=B maka haruslah ordo kedua matriks itu sama, dan elemen-elemen yang seletak sama.
b. Jika dua buah matriks mempunyai ordo yang sma, elemen-elemen yang seletak juga sama maka A=B.
Contoh 11a

Contoh 11b