MULIONO

Sabtu, 30 Januari 2021

Menentukan nilai x limit tak berhingga

Ada beberapa cara untuk menentukan jawaban dari limit fungsi aljabar di mana nilai x tak berhingga yaitu: a. strategi substitusi langsung, strategi membagi dengan pangkat tertinggi, strategi mengalikan dengan bentuk sekawan, dan strategi faktorisasi.

1. Strategi substitusi langsung

2. Strategi membagi dengan pangkat tertinggi

3. Strategi mengalikan dengan bentuk sekawan

Apabila solusi limit bentuk irasional dengan menggunakan strategi substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka langkah selanjutnya kita menggunakan strategi mengalikan dengan bentuk sekawan, kemudian dilanjutkan dengan strategi membagi dengan pangkat tertinggi. Jika nilai f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi irasional, maka

F(x) + g(x) bentuk sekawannya adalah f(x) – g(x)

F(x) – g(x) bentuk sekawannya adalah f(x) + g(x)

Contoh soal: Hitunglah nilai limit berikut ini

Solusi Cepat Mengerjakan

Dalam penyelesaian limit fungsi aljabar untuk x di satu titik atau x mendekati tak hingga terdapat cara mudah dan singkat dalam proses penyelesainnya, yaitu dengan solusi Quipper atau SUPER. SUPER untuk proses penyelesaian limit fungsi aljabar adalah sebagai berikut:

Untuk limit di x mendekati tak berhingga yaitu:

Tentukan nilai limit di bawah ini menggunakan SOLUSI SUPER:

Karena nilai m =n yaitu pangkat 2, maka diperoleh :

Nilai tersebut sama dengan menggunakan cara pangkat tertinggi.

Cara SOLUSI SUPER pengganti mengalikan dengan bentuk sekawan yaitu:

Contoh soal:

Ada langkah SUPER juga untuk menyelesaikan persoalan limit fungsi aljabar yaitu menggunakan konsep turunan atau sering dikenal dengan nama teorema L’Hopital. Teorema L’Hopital adalah sebagai berikut:

Teorema L’hopital. Teorema L’hopital adalah penyelesaian suatu limit menggunakan konsep diferensial/turunan. Apabila dalam penyelesaian diferensial yang pertama masih menghasilkan bentuk tak tentu, maka dilanjutkan dengan turunan kedua dan seterusnya sehingga menghasilkan nilai yang pasti.

F’(x) dan g’(x) = adalah turunan fungsi pertama.

Contoh soal: Tentukan nilai dari limit berikut menggunakan teorema L’Hopital:

Jawabannya yang diperoleh menggunakan teorema L’hopital sama dengan cara substitusi langsung, namun perbedaanya adalah hasil yang diperoleh lebih cepat.

Dalam penyelesaian, bentuk limit yang mengandung akar seperti di bawah ini:

Penyelesaian bentuk limit akan menghasilkan suatu nilai yang tak tentu 0/0. Apabila terdapat bentuk soal di atas, kita harus memodifikasinya menggunakan konsep aturan L’Hopital sehingga hasil modifikasi fungsi akar tersebut bentuknya akan menjadi seperti di bawah ini:

1. Limit fungsi aljabar menggunakan perkalian sekawan

Cara penyelesaian:

2. Limit fungsi aljabar menggunakan SUPER dan pangkat tertinggi

Cara penyelesaian:

3. Limit Aljabar menggunakan SUPER dan perkalian sekawan

Cara penyelesaian:

4. Penyelesaian limit fungsi aljabar menggunakan SUPER dan perkalian sekawan

Cara penyelesaian:

Untuk lebih memahami materi silakan simak video :

Menentukan Nilai Limit dengan cara Mengalikan dengan bilangan sekawan

3. Strategi Mengalikan dengan Bentuk Sekawan

Strategi mengalikan dengan bentuk sekawan dilakukan pada limit berbentuk irasional. Hal ini dilakukan jika sebelumnya kita menggunakan strategi substitusi langsung dan strategi faktorisasi, hasil keduanya adalah bentuk tak tentu. Setelah perkalian itu disederhanakan, maka kita menggunakan strategi substitusi langsung lagi, sehingga diperoleh hasilnya.

Contoh soal:

Untuk lebih jelasnya silakan simak video berikut :

Menentukan Nilai Limit dengan Metode Faktorisasi

jika dengan cara substitusi langsung mendapat hasil 0/0 atau

2. Strategi Faktorisasi

Apabila hasil substitusi langsung diperoleh nilai bentuk tak tentu, maka kita harus memfaktorkannya sehingga bentuknya menjadi bukan bentuk tak tentu, kemudian kita lanjutkan menggunakan strategi substitusi langsung sehingga diperoleh hasilnya.

Contoh soal:

untuk lebih jelasnya silakan simak video berikut :

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar dengan Substitusi

1. Strategi Substitusi

Tahapan pertama untuk menyelesaikan suatu limit di satu titik (nilai berhingga) adalah substitusi langsung. Jika dari hasil substitusi langsung tidak diperoleh nilai dengan bentuk tak tentu seperti di bawah ini, maka nilai tersebut adalah menunjukan nilai dari limit yang bersangkutan.

Contoh soal:

Untuk lebih memahami silakan simak video berikut :

Pengertian Limit

Pada dasarnya limit digunakan untuk menyatakan sesuatu yang yang nilainya mendekati nilai tertentu, seperti tak hingga yang pada dasarnya adalah angka yang sangat besar yang nilainya tidak dapat dipastikan. Limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Jika suatu fungsi tidak terdefinisi untuk titik tertentu, tetapi kita masih bisa mencari nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu dengan limit.

Yuk, kita pelajari limit fungsi aljabar bersama, supaya pemahaman mengenai limit akan lebih mendalam.

Pengertian Limit

Limit f(x) mendekati c sama dengan L, ditulis:

$\lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=L$
jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c tetapi x≠c, f(x) mendekati L.

Sifat Limit Fungsi

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}k=k\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}x=c\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}kf(x)=k\lim_{x\rightarrow c}f(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)+ \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)- \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)\times g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x) \times \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow c}{}f(x)}{\lim_{x\rightarrow c}g(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}g(x) \neq 0 \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}[f(x)]^n=[\lim_{x\rightarrow c}f(x)]^n \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\sqrt[n]{f(x)}= \sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow c}f(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}f(x) \geq 0 \end{align*}$

Mencari Nilai Limit

Metode substitusi

Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{2}x+4 &=\frac{1}{2} \times 2+4\\ &=1 + 4\\ &=5 \end{align*}$

Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

$\infty,\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty,\infty-\infty, 0^{0},\infty^0, atau \infty^\infty$

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-9}{x-3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(x+3)\\ &=2+3\\ &=5 \end{align*}$

Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}+\sqrt{7}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-7)(\sqrt{x}+\sqrt{7})}{x-7}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(\sqrt{x}+\sqrt{7})\\ &=\sqrt{7}+\sqrt{7}\\ &=2\sqrt{7} \end{align*}$

Limit Tak Hingga

Untuk menyelesaikan limit tak hingga dari suatu fungsi aljabar, terdapat dua cara yang umum digunakan, yaitu:

Contoh Soal:

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{4x^3-3x^2+2x-1}{5x^3+14x^x-7x+2}=\frac{4}{5} \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^3+2x}{x^2+1}=\infty \end{align*}$

Contoh Soal:

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2x}=\frac{1-2}{2\sqrt{1}}=-\frac{1}{2} \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{2x^2-x+5}-\sqrt{4x^3-1}=-\infty \end{align*}$