Volume Kerucut

Tahukah Anda dengan Museum Purna Bakti Pertiwi? Kompleks museum yang berlokasi di beranda depan Taman Mini Indonesia Indah ini pertama kali digagas oleh Ibu Tien Soeharto memiliki bentuk bangunan yang unik. Setiap bangunannya berbentuk kerucut. Jika jari-jari kerucut yang besar adalah 14 m dan tinggi 20 m, tahukah Anda berapa volume kerucut tersebut?

Untuk menjawab permasalahan di tersebut, Anda harus paham dengan konsep volume kerucut. Bagaimana cara mencari volume kerucut? Pada postingan tentang pengertian, jenis-jenis dan sifat-sifat limas, telah disinggung bahwa kerucut bisa dikatakan bangun ruang limas. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas sebelah kiri menunjukkan bangun limas segi banyak beraturan. Jika rusuk-rusuk pada bidang alasnya diperbanyak secara terus-menerus maka akan diperoleh bentuk yang mendekati kerucut (gambar di atas sebelah kanan). Oleh karena itu, kerucut dapat dipandang sebagai limas. Kerucut memiliki bidang alas berupa daerah lingkaran dan bidang sisi tegaknya berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.

Karena kerucut merupakan limas segi banyak, maka volume kerucut dapat dicari dengan menggunakan konsep volume limas. Kita ketahui bahwa volume limas dicari dengan persamaan matematis:

Volume = 1/3 x luas alas x tinggi

Karena kerucut alasnya berbentuk lingkaran, maka:

Volume = 1/3 x luas lingkaran x tinggi

Kita juga telah mengetahui bahwa luas lingkaran dirumuskan yaitu:

L = πr2

Maka maka volume kerucut dapat dirumuskan yakni:

Volume = 1/3 x πr2 x t

Volume = 1/3(πr2t)

Jadi, volume kerucut adalah:

V = (1/3)πr2t

Dalam hal ini:

V = volume kerucut

r = jari-jari alas kerucut

t = tinggi kerucut

π = 3,14 atau 22/7

Dari volume kerucut, nanti Anda akan menemukan konsep volume bola. Untuk memantapkan pemahaman Anda dengan konsep volume kerucut, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Diketahui sebuah kerucut berdiameter 14 cm dan tingginya 6 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut.

Penyelesaian:

d = 14 cm => r = ½ x 14 cm = 7 cm

V = (1/3)πr2t

V = (1/3)(22/7)(7 cm)2.6 cm

V = 308 cm2

Jadi, volumenya adalah 308 cm3.

Contoh Soal 2

Volume sebuah kerucut adalah 594 cm3. Jika tinggi kerucut itu menjadi 2 kali tinggi semula (jari-jari tetap), berapa volume kerucut itu setelah perubahan?

Penyelesaian:

Misalkan:

Volume kerucut semula = V1,

tinggi kerucut semula = t1,

volume kerucut setelah perubahan = V2,

dan tinggi kerucut setelah perubahan = t2

maka t2 = 2t1.

V1 = (1/3)πr2t1 => 594 cm3 = (1/3)πr2t1

V2 = (1/3)πr2t2

V2 = (1/3)πr2.2t1

V2 = 2.(1/3)πr2t1

V2 = 2 . 594 cm3

V2 = 1.188 cm3

Jadi, volume kerucut setelah mengalami perubahan adalah dua kali volume semula, yaitu 1.188 cm3. 

Luas Permukaan Kerucut

 Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai benda-benda berbentuk kerucut, misalnya nasi tumpeng, caping atau topi petani, topi ulang tahun, dan rumah adat Mbaru Niang di Flores, seperti gambar di bawah ini.

Secara geometris gambar benda-benda di atas yang berbentuk bangun ruang kerucut dapat digambarkan seperti gambar bawah ini.

Sisi alas kerucut berbentuk lingkaran dan sisi tegak berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut. Jadi bangun ruang kerucut dibatasi oleh dua sisi, yaitu sisi alas dan selimut kerucut. Pada gambar di atas, t merupakan tinggi kerucut, r adalah jari-jari alas kerucut, dan s disebut garis pelukis.

Bila kerucut dipotong menurut garis pelukis s dan sepanjang keliling alasnya, maka didapat jaring-jaring kerucut, seperti gambar di bawah ini.

Jika diperhatikan luas permukaan kerucut di atas terdiri dari luas alas lingkaran A dan luas selimut BCB’. Untuk menghitung luas permukaan kerucut, kita harus mencari luas selimut terlebih dahulu. Luas selimut kerucut dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan antara luas juring dengan panjang busur lingkaran. Dalam hal ini, luas selimut tersebut merupakan luas juring lingkaran dengan titik pusat di C dan berjari-jari s (garis pelukis kerucut menjadi jari-jari lingkaran C), seperti gambar di bawah ini.

Maka, luas selimut kerucut atau luas juring BCB’ dapat di cari dengan menggunakan hubungan antara luas juring dengan panjang busur lingkaran, yakni

Luas BCB’/Luas C = Panjang BB’/keliling C

Dalam hal ini panjang BB’ merupakan kelilinglingkaran A yakni 2πr, sedangkan luas lingkaran C dapat dicari dengan menggunakan jar-jari s yang merupakan garis pelukis kerucut yakni πs2 dan keliling lingkaran C dapat dicari yakni 2πs. Maka persamaan di atas menjadi:

Luas BCB’/πs2 = 2πr/2πs

Luas BCB’/πs2 = r/s

Luas BCB’ = πs2r/s

Luas BCB’ = πrs

Jadi luas selimut kerucut dapat dirumuskan:

L selimut = πsr

Sedangkan alas kerucut merupakan luas lingkaran A yakni πr2, maka luas permukaan kerucut dapat dicari yakni:

L = luas alas + luas selimut

L = πr2 + πsr

L =πr(r+s)

Jadi luas permukaan kerucut dapat dirumuskan:

L = πr(r+s)

Panjang s dapat dicari dengan menggunakan teorema Phytagoras, yakni:

s2 = r2 + t2

s = √(r2 + t2)

Contoh Soal

Luas permukaan kerucut dengan diameter 10 cm dan tinggi 12 cm adalah ….

A.  85 π cm2

B.  90 π cm2

C.  220 π cm2

D.  230 π cm2

(Soal UN 2010/2011)

Penyelesaian:

Kita harus mencari nilai s terlebih dahulu, dalam hal ini r = d/2 = 5 cm, maka:
s = √(r2 + t2)

s = √(52 + 122)

s = √(25 + 144)

s = √169

s = 13 cm

L = πr(r+s)

L = π.5.(5+13)

L = 90 π cm2

Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 90 π cm2 (Jawaban B)

untuk lebih jelasnya silakan simak video berikut  : 

Latihan Soal :

1. Sebuah kerucut mempunyai diameter alas 12cm dan tinggi 14cm. Apabila Panjang garis pelukisnya 10cm, hitunglah luas permukaan kerucut tersebut…
   Pembahasan:
   Untuk mengerjakan soal ini tidaklah sulit, asalkan kita tahu rumus dari luas permukaan kerucut yaitu luas selimut kerucut + luas alas kerucut.
2. Luas selimut kerucut 264cm2. Jika jari-jari alas kerucut 6 cm, hitunglah panjang garis pelukis dan tinggi kerucut tersebut… (gunakan π=22/7)
3. Sebuah kerucut beralaskan lingkaran dengan diameter  16 cm. Apabila panjang garis pelukis pada kerucut 10cm, hitunglah volume kerucut tersebut.