Menentukan Jenis Segitiga dengan Teorema Pythagoras

 Masih ingatkah Anda, ada berapa jenis-jenis segitiga? Jenis-jenis suatu segitiga dapat dibedakan berdasarkan panjang sisi-sisinya, besar sudut-sudutnya, dan panjang sisi dan besar sudutnya (silahkan baca: pengertian dan jenis-jenis segitiga).

Jika ditinjau dari sisinya maka segitiga dibedakan menjadi: segitiga sembarang, segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki. Jika ditinjau dari besar sudutnya, ada tiga jenis segitiga yakni segitiga lancip (0° < x < 90°), segitiga siku-siku (90°), dan segitiga tumpul (90° < x < 180°).

Selain dengan meninjau besar sudutnya, suatu segitiga dapat diketahui jenisnya dengan menggunakan teorema phytagoras. Nah pada postingan sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang cara membuktikan teorema phytagoras dan penerapannya dalam mencari panjang salah satu sisi segitiga siku-siku.

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan gambar (i) di atas merupakan sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di titik B yang memiliki sisi a, b, dan c, sehingga berlaku rumus:

b2 = a2 + c2

Sekarang perhatikan gammbar (ii) juga merupakan sebuah segitiga siku-siku PQR dengan siku-siku di titik Q yang memiliki panjang a, q, dan c, karena ∆PQR siku-siku, maka berlaku rumus:

q2 = a2 + c2

Dari kedua rumus di atas maka akan diperoleh bahwa:

b2 = a2 + c2 = q2

b2 = q2

b = q

Jadi, ∆ABC sama dengan ∆PQR. Jika kita mengimpitkan sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga maka akan diperoleh sebuah bangun datar persegi panjang. Masih ingatkah Anda dengan sifat-sifat persegi panjang? Salah satu sifat persegi panjang adalah keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut siku-siku (90°). Dengan demikian, ∠ABC = ∠PQR = 90°. Jadi, ∆ABC adalah segitiga siku-siku di B.

Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk setiap segitiga jika jumlah kuadrat panjang dua sisi yang saling tegak lurus sama dengan kuadrat panjang sisi miring maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.

Sekarang perhatikan lagi gambar di bawah ini.

Pada gambar (iii) merupakan segitiga ABC lancip. Sekarang kuadratkan panjang AB dan jumlahkan kuadrat panjang sisi AC dan BC, maka:

AB2 = 92 

AB2 = 81

AC2 + BC2 = 62 + 82

AC2 + BC2 = 36 + 64
AC2 + BC2 = 100

Ternyata pada segitiga lancip ABC pada gambar (iii) berlaku: AB2 < AC2 + BC2. Jadi pada segitiga lancip akan berlaku bahwa kuadrat sisi miring lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi yang lain.

Sekarang perhatikan gambar (iv) merupakan segitiga PQR tumpul. Sekarang kuadratkan panjang AB dan jumlahkan kuadrat panjang sisi AC dan BC, maka:

PQ2 = 122 

PQ2 = 144

PR2 + QR2 = 62 + 82

PR2 + QR2 = 36 + 64

PR2 + QR2 = 100

Ternyata pada segitiga tumpul PQR gambar (iv) berlaku: PQ2 > PR2 + QR2. Jadi pada segitiga tumpul akan berlaku bahwa kuadrat sisi miring lebih besar dari jumlah kuadrat sisi yang lain. 

Kesimpulan**

Berdasarkan penjelasan di atas maka pada suatu segitiga berlaku:

a. jika kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut siku-siku.

b. jika kuadrat sisi miring lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut lancip.

c. jika kuadrat sisi miring lebih besar dari jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut tumpul.

Masih bingung dengan penjelasan di atas? Nah untuk menghilangkan sedikit kebingungan Anda silahkan simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Tentukan jenis segitiga dengan panjang sisi-sisi sebagai berikut.

a). 12 cm, 16 cm, 19 cm

b). 12 cm, 16 cm, 20 cm

c). 12 cm, 16 cm, 21 cm

Penyelesaian:

Misalkan a = panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi yang lain, maka:

a). kudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

a = 19 cm, b = 12 cm, c = 16 cm

a2 = 192

a2 = 361

b2 + c2 = 122 + 162

b2 + c2 = 144 + 256

b2 + c2 = 400

Karena 192 < 122 + 162, maka segitiga ini termasuk jenis segitiga lancip.

b) kudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

a = 20 cm, b = 12 cm, c = 16 cm

a2 = 202

a2 = 400

b2 + c2 = 122 + 162

b2 + c2 = 144 + 256

b2 + c2 = 400

Karena 192 = 122 + 162, maka segitiga ini termasuk jenis segitiga siku-siku.

b) kudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

a = 21 cm, b = 12 cm, c = 16 cm

a2 = 212

a2 = 441

b2 + c2 = 122 + 162

b2 + c2 = 144 + 256

b2 + c2 = 400

Karena 192 > 122 + 162, maka segitiga ini termasuk jenis segitiga tumpul.

Latihan Soal :

1. Diketahui Δ ABC, titik D berada pada perpanjangan AC sedemikian hingga ∠BCD = 60^o. Jika besar ∠CAB = 30^o maka jenis Δ ABC adalah...
2. dari gambar disamping tentukan : 

a. panjang CD, 

b. Panjang AC

c. Panjang BD

e. Panjang BC

Menemukan Teoram Pythagoras

 Untuk menemukan dalil atau teorema phytagoras Anda harus paham dengan konsep-konsep dasar yang sangat mendukung dalam pembuktian teorema tersebut. Adapun materi atau konsep dasar tersebut adalah materi kuadrat bilangan, perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar, akar kuadrat bilangan, luasdaerah persegi, dan luas daerah segitiga (khususnya segitiga siku-siku).

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan empat buah bangun datar segitiga siku-siku dan memiliki sisi a, b, dan c. Jika ke empat segitiga siku-siku tersebut dijadikan bentuk persegi maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Masih ingatkah Anda mencari daerah yang tidak di arsir seperti gambar di atas? Daerah yang tidak diarsir di atas dapat dicari dengan cara:

L.UVWX = L.ABCD – 4L.∆

Nah di sinilah penggunaan konsep luas persegi dan luas segitiga, maka:

Untuk luas persegi UVWX dapat dicari:
L.UVWX = c x c = c2

Sedangkan untuk luas persegi ABCD dapat dicari:
L.ABCD = (a+b)(a+b) 
Di mana (a+b)(a+b) merupakan perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar, maka:

L.ABCD = a2 +2ab + b2

Luas segitiga siku-siku tersebut dapat dicari yakni:
L.∆ = ½ab

Maka rumus untuk daerah yang tidak diarsir di atas menjadi:

L.UVWX = L.ABCD – 4L.∆

c2 = (a2 +2ab + b2) – 4.½ab

c2 = (a2 +2ab + b2) – 2ab

c2 = a2 + b2

Berdasarkan hasil penjabaran di atas dapat disimpulkan bahwa pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Nah sifat yang dimiliki oleh segitiga siku-siku inilah yang kemudian dikenal dengan teorema Pythagoras. Jadi, jika ABC adalah sembarang segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku a dan b serta panjang sisi miring c maka berlaku hubungan sebagai berikut:

c2 = a2 + b2

Hubungan di atas dapat dibuat dalam bentuk pengurangan yakni:

a2 = c2 – b2

b2 = c2 – a2

Nah untuk memantapkan pemahaman Anda tentang teorema phytagoras simak beberapa contoh soal dan pembahasannya di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Nyatakan hubungan yang berlaku mengenai sisi-sisi segitiga pada gambar di atas.

Penyelesaian:

Segitiga di atas merupakan adalah segitiga siku-siku, maka berlaku teorema Pythagoras, yaitu kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya, sehingga berlaku:

z2 = x2 + y2

x2 = z2 – y2

y2 = z2 – x2

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar ∆PRS di bawah ini.

Segitiga PRS di atas merupakakan gabungan dari dua segitiga siku-siku PQS dan QRS. Tentukan rumus Pythagoras untuk menghitung:

a. panjang sisi a,

b. panjang sisi b,

c. panjang sisi c,

d. panjang sisi d,

e. panjang sisi t.

Penyelesaian:

a. Perhatikan segitiga PQS. Dari segitiga tersebut diperoleh:

a2 = d2 – t2

a = √(d2 – t2)

b. Perhatikan segitiga QRS. Dari segitiga tersebut diperoleh:

b2 = c2 – t2

b = √(c2 – t2)

c. Perhatikan segitiga QRS. Dari segitiga tersebut diperoleh:

c2 = b2 + t2

c = √(b2 + t2)

d. Perhatikan segitiga PQS. Dari segitiga tersebut diperoleh:

d2 = a2 + t2

d = √(a2 + t2)

e. Khusus untuk nilai t, dapat diperoleh dari dua segitiga dua segitiga siku-siku PQS dan QRS. Sekarang perhatikan segitiga PQR, dari segitiga tersebut diperoleh:

t2 = d2 – a2

t = √(d2 – a2)

Sekarang perhatikan segitiga QRS, dari segitiga tersebut diperoleh:

t2 = c2 – b2

t = √(c2 – b2)