Untuk mengetahui syarat dua segitiga dikatakan sebangun dapat menggunakan konsep perbandingan segmen garis. Sekarang perhatikan gambar segmen garis di bawah ini.
Gambar di atas merupakan sebuah segitiga ABC, diantara garis AB dibuat sebuah garis menuju antara garis AC yaitu garis DE. Di mana garis BC sejajar dengan garis DE.
Jika kita lihat pada gambar di atas terdapat dua buah segitiga yaitu segitiga ADE dan segitiga ABC. Jika di gambarkan seperti gambar di bawah ini.
Jika panjang sisi segitiga ADE dan ABC diukur maka akan diperoleh hasil sebagai berikut.
AE/AC = AD/AB = DE/BC
Sedangkan jika masing-masing sudut segitiga ADE dan ABC diukur maka akan diperoleh hasil sebagai berikut.
∠DAE = ∠BAC, ∠ADE = ∠ABC, dan ∠AED = ∠ACB
Berdasarkan uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa syarat dua segitiga sebangun adalah jika sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang besesuaian sama besar.
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang syarat dua segitiga sebangun perhatikan contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal 1
Perhatikan gambar di bawah ini.
Buktikan bahwa ∆ABC dan ∆A'B'C' pada gambar di atas sebangun!
Penyelesaian:
Untuk mengetahui apakah kedua segitiga di atas sebagun, harus dicari semua sisi dari segitiga tersebut. Sekarang kita cari sisi AC dengan menggunakan teorema Pythagoras yakni:
AC = √(AB2 + BC2)
AC = √(82 + 62)
AC = √(64 + 36)
AC = √100
AC = 10
Sekarang kita cari panjang sisi A’B’ pada segitiga A’B’C’ di atas yakni:
A’B’ = √(A’C’2 – B’C’2)
A’B’ = √(52 – 32)
A’B’ = √(25 – 9)
A’B’ = √16
A’B’ = 4
Sekarang cari perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian maka:
AB/A’B’ = 8/4 = 2
BC/B’C’ = 6/3 = 2
AC/A’C’ = 10/5 = 2
Ini berati bahwa AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’. Karena sisi-sisi yang besesuaian memiliki perbandingan yang sama maka ∆ABC sebangun dengan ∆A'B'C'.
Contoh Soal 2
Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika DE // BC, apakah ∆ADE sebangun dengan ∆ABC? Dan jika BC = 6 cm, CE = 3 cm, dan AE = 6 cm, tentukan panjang DE.
Penyelesaian:
Perhatikan ∆ADE dan ∆ABC, pada kedua segitiga tersebut akan terlihat bahwa:
∠DAE = ∠BAC (sudut berimpit)
∠ADE = ∠ABC (sudut sehadap)
∠AED = ∠ACB (sudut sehadap)
Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian dari ∆ABC dan ∆ADE sama besar sehingga ∆ABC se bangun dengan ∆ADE.
Untuk mencari panjang DE kita gunakan konsep kesebangunan segitiga. Karena ∆ABC dan ∆ADE maka sisi-sisi yang besesuaian memiliki perbandingan yang sama, yakni:
DE/BC = AE/AC
DE/BC = AE/(AE + CE)
DE/6 = 6/(6 + 3)
DE/6 = 6/9
DE = 6.6/9
DE = 4
Jadi panjang DE adalah 4 cm
Contoh Soal 3
Perhatikan gambar di bawah ini
Apakah ∆PQR sebangun dengan ∆PST? Jelaskan! Jika ∆PQR sebangun dengan ∆PST tentukan nilai x.
Penyelesaian:
Contoh soal no 3 ini hampir sama seperti contoh soal no 2, maka:
∠SPT = ∠QPR (sudut berimpit)
∠PST = ∠PQR (sudut sehadap)
∠PTS = ∠PRQ (sudut sehadap)
Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian dari ∆PQR dan ∆PST sama besar sehingga ∆PQR sebangun dengan ∆PST.
Untuk mencari nilai x kita gunakan konsep kesebangunan segitiga. Karena ∆PQR dan ∆PST maka sisi-sisi yang besesuaian memiliki perbandingan yang sama, yakni:
PS/PQ = ST/QR
PS/(PS+QS) = ST/QR
4/(4 + 3) = x/(x+30)
4(x+30) = 7x
4x + 120 = 7x
4x – 7x = –120
–3x = –120
x = –120/–3
x = 40
Jadi, nilai x adalah 40.
Perbandingan Ruas Garis pada segitiga
Untuk mengetahui bagaimana perbandingan ruas/segmen garis pada segitiga perhatikan gambar di bawah ini.
Pada gambar di atas diketahui bahwa BC//DE, oleh karena itu pada gambar di atas akan berlaku:
∠DAE = ∠BAC (sudut berimpit)
∠ADE = ∠ABC (sudut sehadap)
∠AED = ∠ACB (sudut sehadap)
Kita ketahui bahwa jika sudut-sudut yang besesuaian sama besar maka dua segitiga tersebut sebagun. Oleh karena itu, ∆ADE dan ∆ABC merupakan dua segitiga yang sebangun. Karena ∆ADE dan ∆ABC sebangun maka akibatnya sisi-sisi yang bersesuaian akan sebanding, yakni:
AE/AC = AD/AB = DE/BC . . . .(**)
Jika pada gambar di atas, AD = p, BD = q, AE = r, CE = s, DE = t, dan BC = u, dengan p ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0, u ≠ 0, maka persamaan ** akan menjadi:
AE/AC = AD/AB = DE/BC
AE/(AE + CE) = AD/(AD + BD) = DE/BC
r/(r + s) = p/(p + q) = t/u
Sekarang amati perbandingan senilai r/(r + s) = p/(p + q)! Jika kedua ruas tersebut dikalikan dengan (r + s)(p + q), maka perbandingan senilai r/(r + s) = p/(p + q) akan menjadi:
r/(r + s) = p/(p + q)
(p + q).r = (r + s).p
qr = ps
q/p = s/r
Jadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti tampak pada gambar di atas adalah sebagai berikut:
q/p = s/r
Berdasarkan perbandingan q/p = s/r dapat dikatakan bahwa jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi lainnya dengan perbandingan yang sama.
Sekarang perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini.
Pada gambar segitga siku-siku di atas tampak bahwa:
1) ∠BAC = ∠ADB (siku-siku);
2) ∠ABC = ∠ABD (berimpit).
3) ∠ACB = ∠CAD
Oleh karena itu, ∆PQR sebangun dengan ∆QSR sehingga berlaku hubungan:
AC/BC = CD/AC
AC.AC = BC.CD
AC = √(BC.CD) . . . .(##)
dan
AB/BC = BD/AB
AB.AB = BC.BD
AB = √(BC.BD) . . . .(###)
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang perbandingan ruas garis pada segitiga, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal 1
Perhatikan gambar di bawah ini
Tentukan panjang OM dan ON pada gambar di atas!
Penyelesaian:
OM = √(MP.MN)
OM = √(3 cm.12 cm)
OM = √(36 cm2)
OM = 6 cm
ON = √(NP.MN)
ON = √(9 cm.12 cm)
ON = √(108 cm2)
ON = √(36.3 cm2)
ON = 6√3 cm
Jadi panjang OM dan ON adalah 6 cm dan 6√3 cm.
Contoh Soal 2
Perhatikan gambar di bawah ini.
Diketahui bahwa ∆PRQ siku-siku, begitu juga dengan ∆PSR. Nyatakan t dalam p, q, dan r.
Penyelesaian:
Pada gambar segitga siku-siku pada contoh soal 2 tampak bahwa:
1) ∠PRQ = ∠PSR (siku-siku);
2) ∠QPR = ∠SPR (berimpit).
3) ∠PQR = ∠PRS
Oleh karena itu, ∆PQR sebangun dengan ∆PSR sehingga berlaku hubungan:
RS/QR = PR/PQ
t/p = q/r
t = pq/r
