Grafik Trigonometri

untuk belajar tentang grafik fungsi trigonometri. Salah satu penerapan grafik fungsi trigonometri ini adalah untuk mendeteksi ketinggian air laut di bidang oseanografi. Sebenarnya, masih banyak penerapan lainnya. 

Namun, pada artikel ini hal yang akan dibahas bukan penerapan grafik fungsi trigonometrinya, melainkan bagaimana cara menggambar grafik fungsi trigonometri. So, stay tune!

Daftar Isi  Sembunyikan 

Melukis Pendekatan Nilai π Menurut Kochansky

Melukis Grafik Fungsi Trigonometri

1. Melukis grafik fungsi sinus menggunakan tabel

2. Melukis grafik fungsi kosinus menggunakan tabel

3. Melukis grafik fungsi tangen menggunakan lingkaran satuan

Grafik Fungsi Trigonometri

1. Grafik fungsi sinus (y = a sin bx, x ∈ [0o, 360o])

2. Grafik fungsi kosinus (y = cos 2x, x ∈ [0o, 360o])

3. Grafik fungsi tangen (y = tan x, x ∈ [0o, 360o])

Contoh Soal 1

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

Melukis Pendekatan Nilai π Menurut Kochansky

Sebelum menggambarkan grafik fungsi trigonometri, Quipperian harus bisa memastikan bahwa perbandingan antara panjang satuan sumbu-x dan sumbu-y harus tepat. Hal ini bertujuan untuk mendapatkan panjang ruas garis sebesar 2πr. 

Itulah sebabnya sebelum melukis grafik fungsi trigonometri, Quipperian perlu mengetahui cara melukis pendekatan nilai π. Nah, salah satu cara yang biasa digunakan adalah cara Kochansky, yaitu sebagai berikut.

Jika dijabarkan dalam bentuk matematis, akan menjadi seperti berikut.

Lukis EF = 3r, sehingga:

Berdasarkan teorema Phytagoras, panjang DF dapat ditentukan sebagai berikut.

Mengingat hasil perhitungan nilai π sebenarnya adalah 3,14 maka pendekatan DF sebagai πr sudah cukup teliti.

Melukis Grafik Fungsi Trigonometri

Nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa berperan penting dalam melukiskan bentuk grafiknya. Inilah tabel perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa.

1. Melukis grafik fungsi sinus menggunakan tabel

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

a. Gunakan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa dengan sudut relasi sebagai x.

b. Melengkapi nilai pada tabel, lalu tulis pasangan koordinat titik-titiknya dalam radian atau derajat.

c. Lukis titik tersebut dalam koordinat kartesius yang sesuai.

d. Lukis kurva melalui titik-titiknya.

2. Melukis grafik fungsi kosinus menggunakan tabel

Sama seperti grafik fungsi sinus, untuk kosinus kamu bisa menentukan terlebih dahulu nilai kosinus sudut-sudut istimewanya.

Dengan demikian, diperoleh grafik berikut ini.

3. Melukis grafik fungsi tangen menggunakan lingkaran satuan

Jari-jari lingkaran satuan yang diperpanjang sampai memotong sumbu-y, akan menghasilkan gambar berikut.

Dari gambar di atas, kamu bisa mendapatkan beberapa nilai tangen berikut.

Nilai di atas menunjukkan bahwa nilai tangennya adalah panjang ruas garis dari titik O sampai ke titik potong jari-jari yang terkait sudut, misalnya sudut x. Untuk melukis grafik fungsi tangen, kamu bisa melalui titik potongnya, dengan ruas atas bertanda positif dan ruas bawah bertanda negatif.

Grafik Fungsi Trigonometri

Secara umum, grafik fungsi trigonometri dibagi menjadi tiga, yaitu sebagai berikut.

1. Grafik fungsi sinus (y = a sin bx, x ∈ [0^o, 360^o])

Grafik fungsi sinus, y = a sin bx, x ∈ [0^o, 360^o] memiliki bentuk gelombang bergerak yang teratur seiring pergerakan x. Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan grafik di atas, diperoleh sifat-sifat berikut.

1. Simpangan maksimum gelombang atau yang biasa disebut amplitudo adalah 1. Simpangan gelombang adalah jarak dari fungsi x ke puncak gelombang.
2. Gelombang memiliki periode satu putaran penuh.
3. Grafik y = sin x memiliki nilai y_maks = 1 dan y_min = -1.
4. Titik maksimum gelombang adalah adalah (90^o, 1) dan titik minimumnya (270^o, -1).

Jika persamaan fungsi trigonometrinya diubah menjadi y = a sin x dengan a = 2, diperoleh grafik berikut.

Perubahan nilai a mengakibatkan perubahan amplitudo gelombang. Nah, jika persamaan fungsinya diubah menjadi y = sin bx dengan b = 2, grafiknya akan menjadi seperti berikut.

Artinya, perubahan nilai b mempengaruhi jumlah gelombang yang terbentuk. Pada grafik fungsi y = sin 2x terbentuk 2 buah gelombang.

Untuk memudahkan belajarmu, inilah SUPER “Solusi Quipper”.

2. Grafik fungsi kosinus (y = cos 2x, x ∈ [0^o, 360^o])

Pada dasarnya, grafik fungsi kosinus sama dengan grafik fungsi sinus. Hal yang membedakan adalah grafik fungsi sinus dimulai dari y = 0, sedangkan grafik fungsi kosinus dimulai dari y = 1. Perhatikan grafik berikut.

Jika persamaan fungsinya diubah menjadi y = cos 2x, grafiknya menjadi seperti berikut.

Grafik di atas menujukkan adanya dua buah gelombang yang bergerak dari y = 1.

3. Grafik fungsi tangen (y = tan x, x ∈ [0^o, 360^o])

Adapun ketentuan yang berlaku pada fungsi tangen adalah sebagai berikut.

• Saat x -> 90^o dan x -> 270^o (dari kanan), nilai y = tan x menuju tak terhingga.
• Saat x -> 90^o dan x -> 270^o (dari kiri), nilai y = tan x menuju negatif tak terhingga.

Berikut ini contoh grafiknya.

Jika fungsi tangen diubah menjadi y = tan 2x, x ∈ [0^o, 360^o] grafiknya menjadi seperti berikut.

Untuk mengasah pemahamanmu tentang grafik fungsi trigonometri, simak contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Perhatikan grafik fungsi berikut.

Grafik fungsi tersebut merupakan grafik fungsi jenis apa?

Pembahasan:

Jika diperhatikan, grafik tersebut dimulai dari titik (0,1) dan mempunyai periode satu putaran 0 ≤ x ≤ 2π.

Dengan demikian, grafik fungsi tersebut adalah grafik fungsi cos, yaitu y = cos x. Untuk meyakinkan, coba lihat salah satu titiknya.

Jadi, grafik fungsi tersebut merupakan grafik fungsi y = cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Contoh Soal 2

Lukislah grafik fungsi y = 2 cos 2x, x ∈ [0^o, 360^o]

Pembahasan:

Untuk menentukan bentuk grafiknya, gunakan tabel trigonometri sudut istimewa.

Dengan demikian, grafik fungsi y = 2 cos 2x, x ∈ [0^o, 360^o] adalah sebagai berikut.

Contoh Soal 3

Hitunglah nilai maksimum dan minimum fungsi y = cos (x – 30), x ∈ [0^o, 360^o]. Kemudian, lukislah grafik fungsinya.

Pembahasan:

Berdasarkan tabel trigonometri untuk sudut istimewa, diperoleh:

Berdasarkan tabel di atas, nilai maksimum dari fungsi y = cos (x – 30), x ∈ [0^o, 360^o] adalah 1 dan nilai minimumnya adalah –1. Untuk lebih jelasnya, simak grafik fungsi berikut.

 

Identitas Trigonometri

 

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut. Sebuah identitas trigonometri dapat ditunjukkan kebenarannya dengan tiga cara. Cara pertama, dimulai dengan menyederhanakan ruas kiri menggunakan identitas sebelumnya sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan. Cara kedua, mengubah dan menyederhanakan ruas kanan sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri. Cara ketiga, mengubah baik ruas kiri maupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama.

Ada beberapa rumus identitas trigonometri yang perlu kamu ketahui seperti:

Identitas trigonometri

Sudut Istimewa

 

Pengukuran Sudut

Berdasarkan gambar di atas dapat kita simpulkan bahwa pengukuran sudut merupakan salah satu aspek penting dalam pengukuran dan pemetaan kerangka maupun titik-titik detail. Sistem besaran sudut yang dipakai juga berbeda antara satu dengan yang lainnya. Sistem besaran sudut pada pengukuran dan pemetaan dapat terdiri dari:

• Sistem Besaran Sudut Seksagesimal
• Sistem Besaran Sudut Sentisimal
• Sistem Sesaran Sudut Radian

Dasar untuk mengukur besaran sudutnya seperti suatu lingkaran yang dibagi menjadi empat bagian, yang dinamakan kuadran yaitu Kudran I, II, III dan kuadran IV.

Untuk cara sexagesimal lingkaran dapat dibagi menjadi 360 bagian yang sama dan tiap bagiannya disebut derajat. Maka 1 kuadran dalam lingkaran tersebut = 900.

1o = 60’ 1’ = 60” 1o = 3600”

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku – Siku

 Untuk definisi perbandingan trigonometri sudut siku-siku pertama adalah:

 Dan untuk definisi perbandingan trigonometri sudut siku-siku kedua, adalah:

 

Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut – Sudut Istimewa

Nilai perbandingan memiliki beberapa tabel yang akan memudahkan kamu untuk menemukan hasilnya. Tabel itu sendiri memiliki 2 jenis tabel Istimewa. Ada apa saja? Yuk, perhatikan tabel di bawah ini:

Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa pertama

Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa kedua

Perbandingan Sudut dan Sudut Relasi Trinogometri I

Perbandingan sudut dan relasi trigonometri merupakan perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang hanya memenuhi sudut kuadran I dan sudut lancip (0 − 90°). Untuk contohnya kamu bisa perhatikan gambar di bawah ini ya!

 

Perbandingan Sudut dan Sudut Relasi Trigonometri II

Untuk setiap α lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) akan menghasilkan sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut:

Pengertian Trigonometri

 

Secara umum Trigonometri ialah nilai perbandingan yang tersemat pada koordinat kartesius ataupun segitiga siku-siku. Trigonometri terdiri dari sin (sinus), cos (cosinus), tan (tangen), cot (cotangen), sec (secan), cosec (cosecan).

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Nilai perbandingan tersebut bilamana kita definisikan kedalam segitiga siku-siku, maka akan membentuk fungsi dasar sebagai berikut!

Fungsi Dasar :

Hubungan fungsi trigonometri

Fungsi dasar:

Jadi Trigonometri merupakan sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga, contohnya seperti sinus, cosinus, dan tangen

Berikut ini coba simak video tentang pengertian Trigonometri :

Latihan Soal :

1. 

Peluang Kejadian Bersyarat

 

Pada keadaan tidak saling bebas, kamu mengenal persamaan berikut.

P(B|A) dibaca peluang kejadian B terjadi setelah A.

Nah, untuk mengasah kemampuanmu tentang aturan penjumlahan dan perkalian peluang serta peluang kejadian bersyarat, simak contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Berikut ini merupakan data sebaran anggota serikat buruh dari 5 kota besar di Indonesia.

Jika hendak dipilih 1 orang secara acak untuk menjadi ketua serikat buruh, tentukan peluang terpilihnya ketua serikat buruh dari Kota Bandung atau Padang!

Pembahasan:

Diketahui: n = 1.297

Misalkan A adalah kejadian terpilihnya ketua serikat buruh dari Bandung dan B kejadian terpilihnya ketua serikat buruh dari Padang. Kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan, sehingga disebut kejadian saling lepas.

Jadi, peluang terpilihnya ketua serikat buruh dari Kota Bandung atau Padang adalah 427⁄1297.

Contoh Soal 2

Departemen Kepolisian suatu kota melaporkan bahwa tahun 2014 terjadi 10 kasus, 2015 terjadi 8 kasus, dan 2016 terjadi 5 kasus kejahatan. Jika pihak kepolisian akan memilih dua kasus secara acak, tentukan peluang terpilihnya kasus pada tahun 2014.

Pembahasan:

Pemilihan kasus pertama akan berpengaruh pada kasus kedua karena banyaknya kasus pada pemilihan kedua akan berkurang. Ini berarti, pemilihan kasus kejahatan pertama di tahun 2014 dan pemilihan kasus kedua tahun 2014 merupakan kejadian tidak saling bebas. Dengan demikian, diperoleh:

Jadi, peluang terpilihnya kasus dari tahun 2014 adalah 45⁄253.

Contoh Soal 3

SMA Manggala memberikan kuesioner tentang setuju tidaknya para siswa untuk melakukan study tour ke TMII. Kuesioner tersebut dibagikan pada seratus siswa kelas IX. Berikut jawabannya.

Jika pihak sekolah ingin mengambil jawaban satu orang secara acak, tentukan peluang terpilihnya jawaban ya dari siswa laki-laki!

Pembahasan:

Kejadian tersebut bersyarat. Artinya, siswa harus memberikan jawaban ya/tidak, barulah pihak sekolah akan mengambil jawabannya.

Jadi, peluang siswa laki-laki yang menjawab ya adalah 0,6 atau 60%.

Bila belum faham silakan simak video berikut

Aturan Perkalian Peluang

Pada prinsipnya, aturan perkalian hampir sama dengan penjumlahan. Hal yang membedakan adalah contoh kasusnya.

1. Kejadian Tidak Saling Bebas

Misalnya kamu memiliki 3 lusin buku dengan rincian 1 lusin buku sains, 1 lusin buku fiksi, dan 1 lusin buku novel. Saat kamu mengambil sebuah buku tanpa pengembalian, tentunya akan akan berpengaruh pada jumlah keseluruhan buku, kan? 

Artinya, peluang pada pengambilan kedua berbeda dengan pengambilan pertama karena buku tidak dikembalikan kembali. 

Secara matematis, kejadian tidak saling bebas kejadian A dan B dirumuskan sebagai berikut.

2. Kejadian Saling Bebas

Contohnya kamu melemparkan koin dan dadu secara bersamaan. Kamu ingin tahu peluang munculnya koin bergambar angklung dan dadu bernomor 5. 

Jelas bahwa koin dan dadu tidak saling berpengaruh satu sama lain. Kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Secara matematis, kejadian A dan B saling bebas dirumuskan sebagai berikut.

 

Aturan Penjumlahan peluang

 

Aturan penjumlahan peluang merupakan metode yang digunakan ketika dua kejadian atau lebih berlangsung secara beriringan.

1. Kejadian Tidak Saling Lepas

Contohnya saat pemilihan ketua OSIS. Saat memilih ketua OSIS, kamu ingin tahu apakah calon ketua OSIS-mu ganteng dan pintar, atau pintar saja tetapi tidak ganteng, atau ganteng saja tetapi tidak pintar? 

Kejadian ini disebut kejadian tidak saling lepas. Aturan penulisan kejadian tidak saling lepas adalah sebagai berikut.

Rumus untuk kejadian A dan B tidak saling lepas.

2. Kejadian Saling Lepas

Contohnya adalah kamu ingin tahu apakah calon ketua OSIS-nya laki-laki atau perempuan. Artinya, tidak mungkin seseorang bersamaan antara laki-laki atau perempuan. 

Dengan demikian, kejadian tersebut dinamakan kejadian saling lepas. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Rumus untuk kejadian A dan B saling lepas.